CHAPTER 4
INTEGERS
Learn about positive and negative numbers and how they are used in everyday life. Understand integers on a number line, comparing integers, absolute value, addition and subtraction of integers, and additive inverses through examples, activities, and practice questions.
पॉज़िटिव और नेगेटिव नंबरों के बारे में जानें और समझें कि रोज़मर्रा की ज़िंदगी में उनका इस्तेमाल कैसे होता है। उदाहरणों, गतिविधियों और प्रैक्टिस के सवालों के ज़रिए नंबर लाइन पर इंटीजर्स, इंटीजर्स की तुलना, एब्सोल्यूट वैल्यू, इंटीजर्स को जोड़ना और घटाना, और एडिटिव इनवर्स के बारे में समझें।
VIDEOS
Learn Integers through interactive video lessons covering positive and negative numbers, number lines, absolute value, and arithmetic operations. Follow along with examples and practice-based explanations.
भाग 1: पूर्णांकों का परिचय
इस वीडियो में पूर्णांकों का परिचय दिया गया है तथा ऋणात्मक संख्याओं की अवधारणा को सरल उदाहरणों के माध्यम से समझाया गया है। साथ ही तापमान, समुद्र तल की गहराई और दैनिक जीवन की अन्य परिस्थितियों में धनात्मक एवं ऋणात्मक संख्याओं के उपयोग को विस्तार से बताया गया है।
Part 1: Introduction to Integers
This video introduces integers by explaining positive and negative numbers through simple examples. It also demonstrates how integers are used in everyday life to represent situations such as temperatures below zero, sea level measurements, and other real-world applications.
भाग 2: पूर्णांकों का क्रम और निरपेक्ष मान
इस वीडियो में संख्या रेखा की सहायता से पूर्णांकों की तुलना करना तथा उन्हें आरोही और अवरोही क्रम में व्यवस्थित करना सिखाया गया है। साथ ही निरपेक्ष मान (Absolute Value) की अवधारणा को शून्य से दूरी के रूप में सरल उदाहरणों के माध्यम से समझाया गया है।
Part 2: Ordering Integers and Absolute Value
This lesson explains how to compare and arrange integers using a number line. It also introduces the concept of absolute value as the distance of a number from zero, helping students understand integer values more clearly.
भाग 3: पूर्णांकों के जोड़ के नियम
इस पाठ में धनात्मक और ऋणात्मक पूर्णांकों के जोड़ के नियमों को स्पष्ट रूप से समझाया गया है। संख्या रेखा और सरल उदाहरणों की सहायता से विभिन्न प्रकार के जोड़ को चरणबद्ध तरीके से हल करना सिखाया गया है।
Part 3: Rules of Addition
This video explains the rules for adding positive and negative integers using clear examples and number line illustrations. Students will learn how to perform integer addition accurately by following simple step-by-step methods.
भाग 4: पूर्णांकों का घटाव और योगात्मक प्रतिलोम
इस वीडियो में योगात्मक प्रतिलोम (Additive Inverse) की अवधारणा को विस्तार से समझाया गया है तथा यह बताया गया है कि पूर्णांकों का घटाव, संबंधित संख्या के योगात्मक प्रतिलोम को जोड़कर किस प्रकार सरलता से किया जा सकता है।
Part 4: Subtraction and Additive Inverse
This lesson introduces the concept of the additive inverse and explains how opposite numbers add up to zero. It also demonstrates how subtraction of integers can be simplified by converting it into the addition of the corresponding additive inverse.
NOTES
INTEGERS
Learning Objectives
In this chapter, students will learn about integers and understand how positive and negative numbers are used in everyday life. They will explore integers on a number line, compare and arrange integers, understand the concept of absolute value, perform addition and subtraction of integers, and learn about additive inverses. These concepts help students develop logical thinking and build a strong foundation for advanced mathematics.
Introduction to Integers
The chapter Integers introduces students to a new set of numbers that extends beyond whole numbers. While whole numbers begin from zero and move in the positive direction, integers include both positive and negative numbers along with zero. Integers are widely used in everyday life to represent situations such as temperatures below zero, sea levels, bank balances, elevators, and gains or losses.
Understanding integers enables students to solve practical problems involving direction, measurement, and comparison. This chapter lays the foundation for many mathematical concepts that students will study in higher classes.
Positive and Negative Numbers
Positive numbers are greater than zero and are commonly used for counting and measuring quantities. Negative numbers are less than zero and are represented with a minus sign (-). They are used in many real-life situations such as recording temperatures below freezing point, measuring depths below sea level, or representing financial losses.
Zero acts as the dividing point between positive and negative numbers. It is neither positive nor negative, making it a unique integer.
Learning about positive and negative numbers helps students understand real-world situations where values can exist on both sides of zero.
Integers on the Number Line
A number line provides a simple visual representation of integers. Zero is placed at the center, positive integers appear on the right, and negative integers appear on the left.
As we move towards the right on the number line, the value of integers increases. Moving towards the left decreases the value. This representation makes it easier to compare integers, understand their order, and perform mathematical operations accurately.
The number line is one of the most important tools for learning integers because it helps students visualize mathematical concepts clearly.
Comparing Integers and Absolute Value
Comparing integers becomes simple with the help of the number line. An integer located farther to the right is always greater than an integer located to its left. For example, 5 is greater than 2, and −2 is greater than −5 because it lies closer to zero.
Students also learn the concept of absolute value, which represents the distance of a number from zero on the number line. Since distance is always positive, the absolute value of both 5 and −5 is 5.
Understanding absolute value helps students solve mathematical problems involving distance and comparison.
Addition of Integers
Adding integers depends on the signs of the numbers involved. When two positive integers are added, the result is positive. Similarly, adding two negative integers gives a negative result.
When adding one positive and one negative integer, students compare their absolute values. The result takes the sign of the number with the greater absolute value.
The number line provides a useful method for performing integer addition by moving right for positive numbers and left for negative numbers.
Subtraction of Integers and Additive Inverse
Subtracting integers becomes easier by using the concept of the additive inverse. Every integer has an additive inverse, and when a number is added to its additive inverse, the result is always zero.
For example,
5 + (−5) = 0
−8 + 8 = 0
To subtract an integer, students convert subtraction into addition by adding the additive inverse of the second number. This method makes subtraction simpler and more consistent.
Understanding additive inverses is an important step toward solving algebraic expressions in higher classes.
Practice Questions
- Arrange the following integers in ascending order: −8, 4, 0, −3, 7.
- Find the absolute value of −15.
- Calculate: −6 + 11.
- Calculate: 8 − 13.
- What is the additive inverse of −27?
Answer Key
ANSWER 1
The ascending order is: −8, −3, 0, 4, 7
ANSWER 2
The absolute value of −15 is 15 because absolute value represents the distance from zero.
ANSWER 3
−6 + 11 = 5
ANSWER 4
8 − 13 = 8 + (−13) = −5
ANSWER 5
The additive inverse of −27 is 27, because −27 + 27 = 0
पूर्णांक
सीखने के उद्देश्य
इस अध्याय में विद्यार्थी पूर्णांकों का परिचय प्राप्त करेंगे तथा धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं का दैनिक जीवन में उपयोग समझेंगे। वे संख्या रेखा पर पूर्णांकों को दर्शाना, पूर्णांकों की तुलना करना, निरपेक्ष मान (Absolute Value) की अवधारणा को समझना, पूर्णांकों का जोड़ और घटाव करना तथा योगात्मक प्रतिलोम (Additive Inverse) का प्रयोग करना सीखेंगे। ये सभी अवधारणाएँ विद्यार्थियों की तार्किक क्षमता को विकसित करती हैं और आगे की गणितीय शिक्षा के लिए मजबूत आधार तैयार करती हैं।
परिचय
पूर्णांक अध्याय विद्यार्थियों को संख्याओं के ऐसे समूह से परिचित कराता है जिसमें धनात्मक संख्याओं के साथ-साथ ऋणात्मक संख्याएँ और शून्य भी शामिल होते हैं। पूर्णांकों का उपयोग दैनिक जीवन में तापमान, समुद्र तल की गहराई, बैंक खाते, लाभ-हानि तथा दिशा जैसी अनेक वास्तविक परिस्थितियों को दर्शाने के लिए किया जाता है।
इस अध्याय के माध्यम से विद्यार्थी समझते हैं कि शून्य के दोनों ओर स्थित संख्याओं का उपयोग वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने में किस प्रकार किया जाता है।
धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ
धनात्मक संख्याएँ शून्य से बड़ी होती हैं और सामान्यतः गिनती तथा मापन के लिए उपयोग की जाती हैं। ऋणात्मक संख्याएँ शून्य से छोटी होती हैं तथा उनके पहले ऋण (-) का चिन्ह लगाया जाता है।
इनका उपयोग हिमांक से नीचे के तापमान, समुद्र तल से नीचे की गहराई, आर्थिक हानि तथा अन्य वास्तविक परिस्थितियों को दर्शाने के लिए किया जाता है।
शून्य धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं के बीच का विभाजन बिंदु है। यह न तो धनात्मक संख्या है और न ही ऋणात्मक।
संख्या रेखा पर पूर्णांक
संख्या रेखा पूर्णांकों को समझने का सबसे सरल माध्यम है। इसमें शून्य बीच में होता है, धनात्मक पूर्णांक दाईं ओर तथा ऋणात्मक पूर्णांक बाईं ओर स्थित होते हैं।
दाईं ओर बढ़ने पर संख्याओं का मान बढ़ता है, जबकि बाईं ओर जाने पर मान घटता है। संख्या रेखा विद्यार्थियों को पूर्णांकों की तुलना करने तथा जोड़ और घटाव जैसी संक्रियाओं को आसानी से समझने में सहायता करती है।
पूर्णांकों की तुलना और निरपेक्ष मान
संख्या रेखा की सहायता से पूर्णांकों की तुलना करना सरल हो जाता है। जो संख्या रेखा पर दाईं ओर होती है, वह हमेशा बड़ी मानी जाती है। उदाहरण के लिए, −2, −5 से बड़ा है क्योंकि वह शून्य के अधिक निकट है।
विद्यार्थी निरपेक्ष मान (Absolute Value) की अवधारणा भी सीखते हैं। किसी संख्या का निरपेक्ष मान शून्य से उसकी दूरी को दर्शाता है। इसलिए 5 और −5 दोनों का निरपेक्ष मान 5 होता है।
पूर्णांकों का जोड़
पूर्णांकों का जोड़ करते समय संख्याओं के चिन्हों का ध्यान रखा जाता है। दो धनात्मक संख्याओं का योग धनात्मक होता है, जबकि दो ऋणात्मक संख्याओं का योग ऋणात्मक होता है।
यदि एक संख्या धनात्मक और दूसरी ऋणात्मक हो, तो उनके निरपेक्ष मानों की तुलना की जाती है तथा परिणाम उसी संख्या के चिन्ह के साथ लिखा जाता है जिसका निरपेक्ष मान अधिक होता है।
संख्या रेखा का प्रयोग करके इन संक्रियाओं को आसानी से समझा जा सकता है।
पूर्णांकों का घटाव और योगात्मक प्रतिलोम
पूर्णांकों का घटाव योगात्मक प्रतिलोम की सहायता से सरल बनाया जाता है। प्रत्येक पूर्णांक का एक योगात्मक प्रतिलोम होता है और किसी संख्या तथा उसके योगात्मक प्रतिलोम का योग हमेशा 0 होता है।
उदाहरण के लिए,
5 + (−5) = 0
−8 + 8 = 0
पूर्णांकों का घटाव करने के लिए घटाने वाली संख्या के योगात्मक प्रतिलोम को जोड़ दिया जाता है। यह विधि गणना को सरल और व्यवस्थित बनाती है।
अभ्यास प्रश्न
- निम्न पूर्णांकों को आरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए: −8, 4, 0, −3, 7
- −15 का निरपेक्ष मान ज्ञात कीजिए।
- −6 + 11 का मान ज्ञात कीजिए।
- 8 − 13 का मान ज्ञात कीजिए।
- −27 का योगात्मक प्रतिलोम लिखिए।
उत्तर
उत्तर 1
आरोही क्रम होगा: −8, −3, 0, 4, 7
उत्तर 2
−15 का निरपेक्ष मान 15 है, क्योंकि निरपेक्ष मान शून्य से दूरी को दर्शाता है।
उत्तर 3
−6 + 11 = 5
उत्तर 4
8 − 13 = 8 + (−13) = −5
उत्तर 5
−27 का योगात्मक प्रतिलोम 27 है, क्योंकि −27 + 27 = 0