Chapter 2:
भिन्न एवं दशमलव
Fractions and Decimals
इस अध्याय में हम भिन्नों और दशमलव संख्याओं के बारे में जानेंगे, उनके बीच रूपांतरण करना सीखेंगे तथा उन पर विभिन्न गणितीय संक्रियाओं का अभ्यास करेंगे।
In this chapter, we will explore fractions and decimals, learn how to convert between them, and perform various mathematical operations using both forms of numbers.
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fractions and decimals: part 1
इस भाग में भिन्न की परिभाषा, भिन्नों के प्रकार, भिन्न को उसके सरलतम रूप में बदलना और हर समान करके भिन्नों की तुलना करना सिखाया गया है।
Explains the definition of fractions, types, simplest form reduction, and comparing fractions by finding a common denominator.
fractions and decimals: part 2
इसमें समान व असमान हर वाले भिन्नों का योग एवं घटाव गया है, साथ ही पूर्ण संख्याओं, साधारण भिन्नों और मिश्रित भिन्नों का आपस में गुणा करने की विधि समझाई गई है।
Demonstrates how to add and subtract fractions and teaches how to multiply whole numbers, fractions, and mixed fractions together.
fractions and decimals: part 3
इस भाग में दशमलव की भूमिका, स्थानीय मान, अंतिम छोर पर शून्य लगाकर असमान दशमलव को समान दशमलव में बदलना और बिंदु को एक सीध में रखकर जोड़-घटाव करने की प्रक्रिया स्पष्ट की गई है।
Introduces decimals as fractions with denominators of 10 or 100, maps out decimal place values, teaches changing unlike decimals to like decimals with trailing zeros, and explains decimal addition/subtraction.
NOTES
Fractions and Decimals
Introduction
Fractions and decimals are used to represent parts of a whole. They are commonly used in daily life while measuring length, weight, money, time, and quantity. This chapter explains the types of fractions, operations on fractions, decimals, and the relationship between fractions and decimals.
What are Fractions?
Definition
A fraction represents a part of a whole or a collection.
A fraction has two parts:
- Numerator: The number above the line.
- Denominator: The number below the line.
Example: In 3/5, 3 is the numerator and 5 is the denominator.
Types of Fractions
Different Types
Some common types of fractions are:
- Proper Fraction: Numerator is smaller than the denominator (e.g., 3/7).
- Improper Fraction: Numerator is greater than or equal to the denominator (e.g., 9/5).
- Mixed Fraction: A whole number and a fraction together (e.g., 2⅓).
- Equivalent Fractions: Fractions having the same value (e.g., 1/2 = 2/4).
Addition and Subtraction of Fractions
Rules
Fractions with the same denominator can be added or subtracted by adding or subtracting the numerators.
If the denominators are different, first convert them into equivalent fractions with a common denominator.
Examples:
- 2/7 + 3/7 = 5/7
- 5/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3
Multiplication and Division of Fractions
Operations on Fractions
Multiplication:
Multiply the numerators together and the denominators together.
Example:
2/3 × 4/5 = 8/15
Division:
Multiply the first fraction by the reciprocal of the second fraction.
Example:
2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 5/6
What are Decimals?
Definition
A decimal is another way of representing fractions whose denominators are 10, 100, 1000, and so on.
Examples:
- 0.5
- 2.75
- 10.08
The digits after the decimal point represent tenths, hundredths, thousandths, etc.
Operations on Decimals
Addition, Subtraction, Multiplication, and Division
Addition and Subtraction:
Arrange the numbers according to their decimal points and perform the operation.
Multiplication:
Multiply as whole numbers and place the decimal point correctly in the answer.
Division:
Convert the divisor into a whole number by shifting the decimal point equally in both numbers, then divide.
Conversion Between Fractions and Decimals
Methods
A fraction can be converted into a decimal by dividing the numerator by the denominator.
A decimal can be converted into a fraction by writing it over 10, 100, or 1000 and simplifying it.
Examples:
- 3/4 = 0.75
- 0.6 = 6/10 = 3/5
Applications of Fractions and Decimals
Daily Life Uses
Fractions and decimals are used in:
- Measuring length and weight.
- Buying and selling goods.
- Calculating money.
- Cooking and recipes.
- Reading marks and percentages.
Key Points
- A fraction represents a part of a whole.
- Fractions can be proper, improper, mixed, or equivalent.
- Decimals represent fractions with denominators like 10, 100, and 1000.
- Decimal points must be aligned while adding or subtracting decimals.
- Fractions and decimals can be converted into each other.
- Both are widely used in everyday life.
Chapter Summary
Fractions and decimals help us represent quantities that are less than or greater than a whole. This chapter explains different types of fractions, operations on fractions and decimals, and methods of converting one form into another. These concepts are essential for solving mathematical problems in school and daily life.
भिन्न एवं दशमलव
परिचय
भिन्न और दशमलव किसी पूर्ण वस्तु के भाग को व्यक्त करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। इनका उपयोग दैनिक जीवन में लंबाई, भार, धन, समय तथा अन्य मापों में किया जाता है। इस अध्याय में भिन्नों के प्रकार, उन पर संक्रियाएँ, दशमलव संख्याएँ तथा भिन्न और दशमलव के बीच रूपांतरण का अध्ययन किया गया है।
भिन्न क्या है?
परिभाषा
भिन्न किसी पूर्ण वस्तु या समूह के भाग को दर्शाती है।
भिन्न के दो भाग होते हैं—
- अंश (Numerator): ऊपर की संख्या।
- हर (Denominator): नीचे की संख्या।
उदाहरण: 3/5 में 3 अंश है और 5 हर है।
भिन्नों के प्रकार
मुख्य प्रकार
भिन्नों के प्रमुख प्रकार हैं—
- उचित भिन्न: अंश, हर से छोटा होता है। (जैसे 3/7)
- अनुचित भिन्न: अंश, हर के बराबर या बड़ा होता है। (जैसे 9/5)
- मिश्रित भिन्न: पूर्ण संख्या और भिन्न का मिश्रण। (जैसे 2⅓)
- समतुल्य भिन्न: जिनका मान समान होता है। (जैसे 1/2 = 2/4)
भिन्नों का जोड़ एवं घटाव
नियम
यदि हर समान हों, तो केवल अंशों का जोड़ या घटाव करें।
यदि हर अलग-अलग हों, तो पहले समान हर बनाकर संक्रिया करें।
उदाहरण:
- 2/7 + 3/7 = 5/7
- 5/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3
भिन्नों का गुणा एवं भाग
संक्रियाएँ
गुणा:
अंशों का गुणा तथा हरों का गुणा करें।
उदाहरण:
2/3 × 4/5 = 8/15
भाग:
दूसरी भिन्न का व्युत्क्रम लेकर गुणा करें।
उदाहरण:
2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 5/6
दशमलव क्या है?
परिभाषा
दशमलव उन भिन्नों का रूप है जिनके हर 10, 100, 1000 आदि होते हैं।
उदाहरण:
- 0.5
- 2.75
- 10.08
दशमलव बिंदु के बाद के अंक क्रमशः दसवाँ, सौवाँ और हजारवाँ भाग दर्शाते हैं।
दशमलव पर संक्रियाएँ
जोड़, घटाव, गुणा एवं भाग
जोड़ एवं घटाव:
दशमलव बिंदुओं को एक सीध में रखकर संक्रिया करें।
गुणा:
पहले पूर्ण संख्याओं की तरह गुणा करें, फिर दशमलव स्थानों के अनुसार बिंदु लगाएँ।
भाग:
भाजक को पूर्ण संख्या बनाकर सामान्य भाग करें।
भिन्न और दशमलव का रूपांतरण
विधियाँ
भिन्न को दशमलव में बदलने के लिए अंश को हर से भाग दें।
दशमलव को भिन्न में बदलने के लिए उसे 10, 100 या 1000 के हर पर लिखकर सरल करें।
उदाहरण:
- 3/4 = 0.75
- 0.6 = 6/10 = 3/5
भिन्न एवं दशमलव के उपयोग
दैनिक जीवन में उपयोग
इनका उपयोग—
- लंबाई और भार मापने में।
- धन की गणना में।
- खरीदारी करने में।
- भोजन बनाने में।
- अंक एवं प्रतिशत समझने में।
मुख्य बिंदु
- भिन्न किसी पूर्ण वस्तु के भाग को दर्शाती है।
- भिन्न उचित, अनुचित, मिश्रित और समतुल्य हो सकती हैं।
- दशमलव, भिन्नों का एक अन्य रूप है।
- दशमलव का जोड़ और घटाव करते समय दशमलव बिंदु एक सीध में होना चाहिए।
- भिन्न और दशमलव को एक-दूसरे में बदला जा सकता है।
- इनका उपयोग दैनिक जीवन में बहुत अधिक होता है।
अध्याय सारांश
इस अध्याय में हमने भिन्न एवं दशमलव की अवधारणा, उनके प्रकार, जोड़, घटाव, गुणा, भाग तथा भिन्न और दशमलव के बीच रूपांतरण का अध्ययन किया। ये विषय गणित के आधारभूत सिद्धांतों में से हैं और दैनिक जीवन की अनेक समस्याओं को हल करने में उपयोगी हैं।