chapter 1:
संख्या पद्धति
Number systems
इस अध्याय में हम विभिन्न प्रकार की संख्याओं, उनके गुणों तथा संख्या रेखा पर उनके निरूपण के बारे में सीखेंगे।
In this chapter, we will learn about different types of numbers, their properties, and how they are represented on the number line.
VIDEOS
Number systems: Part 1
इस वीडियो में कक्षा 9 की संख्या पद्धति का परिचय दिया गया है, जिसमें संख्या रेखा, प्राकृत संख्याएं, पूर्ण संख्याएं, पूर्णांक और परिमेय तथा अपरिमेय संख्याओं को ज्ञात करना सिखाया गया है।
This video introduces Class 9 Number Systems, covering the number line, natural numbers, whole numbers, integers, and how to find rational and irrational numbers.
Number systems: Part 2
इस वीडियो में वास्तविक संख्याओं, उनके दशमलव प्रसार (शांत, असांत आवर्ती, और असांत अनावर्ती) और उत्तरोत्तर आवर्धन विधि द्वारा उन्हें संख्या रेखा पर निरूपित करना समझाया गया है।
This video explains real numbers, their decimal expansions (terminating, non-terminating recurring, and non-terminating non-recurring), and how to represent them on a number line using successive magnification.
Number systems: Part 3
इस वीडियो में वास्तविक संख्याओं पर गणितीय संक्रियाओं, $\sqrt{3.5}$ जैसे वर्गमूलों के ज्यामितीय निरूपण और वर्गमूल से संबंधित महत्वपूर्ण सर्वसमिकाओं को शामिल किया गया है।
This video covers mathematical operations on real numbers, the geometric representation of square roots like $\sqrt{3.5}$, and essential algebraic identities related to square roots.
Number systems: Part 4
इस अंतिम भाग में वास्तविक संख्याओं के हर का परिमेयकरण करने की विधि और वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक नियमों को उदाहरणों के साथ विस्तार से समझाया गया है।
This final part details the process of rationalizing the denominator of real numbers and explains the laws of exponents for real numbers with examples.
NOTES
Number Systems
Introduction
Numbers are used in everyday life for counting, measuring, comparing, and solving mathematical problems. In this chapter, we study different types of numbers, their properties, decimal expansions, and how they are represented on the number line.
Natural, Whole Numbers and Integers
Natural Numbers
Natural numbers are the counting numbers.
Examples: 1, 2, 3, 4, …
- Smallest natural number is 1.
- Zero is not a natural number.
Whole Numbers
Whole numbers include all natural numbers along with 0.
Examples: 0, 1, 2, 3, 4, …
- Smallest whole number is 0.
Integers
Integers include positive numbers, negative numbers, and zero.
Examples: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
Integers are represented on both sides of zero on the number line.
Rational Numbers
Definition
A rational number is any number that can be written in the form p/q, where q ≠ 0 and both p and q are integers.
Examples:
- 3/5
- -7/4
- 2 (2 = 2/1)
- 0 (0 = 0/1)
Decimal Expansion
A rational number always has either:
- A terminating decimal (e.g., 1/4 = 0.25)
- A non-terminating recurring decimal (e.g., 1/3 = 0.333…)
Irrational Numbers
Definition
Numbers that cannot be written in the form p/q are called irrational numbers.
Their decimal expansions are non-terminating and non-recurring.
Examples:
- √2
- √3
- √5
- π (Pi)
Real Numbers
Definition
All rational and irrational numbers together form the set of real numbers.
Every point on the number line represents a real number.
Representing Real Numbers on the Number Line
Construction
Real numbers can be represented on the number line. Rational numbers are easy to locate, while irrational numbers such as √2 can be represented using simple geometrical constructions.
Laws of Exponents
For any non-zero number a:
- aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- (ab)ᵐ = aᵐ × bᵐ
- (a/b)ᵐ = aᵐ/bᵐ
- a⁰ = 1
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ
These laws simplify calculations involving powers and exponents.
Key Points
- Natural numbers start from 1.
- Whole numbers start from 0.
- Integers include positive numbers, negative numbers, and zero.
- Rational numbers can be written as p/q.
- Irrational numbers cannot be written as p/q.
- Rational numbers have terminating or recurring decimal expansions.
- Irrational numbers have non-terminating, non-recurring decimal expansions.
- Real numbers include both rational and irrational numbers.
Chapter Summary
In this chapter, we learned about different types of numbers and their properties. We understood the difference between rational and irrational numbers, studied decimal expansions, represented real numbers on the number line, and learned the laws of exponents. These concepts form the foundation for many advanced topics in mathematics.
कक्षा 9 गणित – अध्याय 1 : संख्या पद्धति
संख्या पद्धति (Number Systems)
परिचय
संख्याएँ हमारे दैनिक जीवन का महत्वपूर्ण भाग हैं। इनका उपयोग गिनती, मापन, तुलना तथा गणितीय समस्याओं को हल करने में किया जाता है। इस अध्याय में हम विभिन्न प्रकार की संख्याओं, उनके गुणों, दशमलव प्रसार तथा संख्या रेखा पर उनके निरूपण का अध्ययन करेंगे।
प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्ण संख्याएँ एवं पूर्णांक
प्राकृतिक संख्याएँ
गिनती के लिए प्रयोग की जाने वाली संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ कहलाती हैं।
उदाहरण: 1, 2, 3, 4, …
- सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या 1 है।
- 0 प्राकृतिक संख्या नहीं है।
पूर्ण संख्याएँ
प्राकृतिक संख्याओं तथा 0 को मिलाकर पूर्ण संख्याएँ बनती हैं।
उदाहरण: 0, 1, 2, 3, 4, …
- सबसे छोटी पूर्ण संख्या 0 है।
पूर्णांक
धनात्मक संख्याएँ, ऋणात्मक संख्याएँ तथा शून्य मिलकर पूर्णांक कहलाते हैं।
उदाहरण: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
परिमेय संख्याएँ
परिभाषा
जो संख्याएँ p/q के रूप में लिखी जा सकती हैं, जहाँ q ≠ 0, उन्हें परिमेय संख्याएँ कहते हैं।
उदाहरण:
- 3/5
- -7/4
- 2
- 0
दशमलव प्रसार
परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार या तो:
- सांत (Terminating) होता है, या
- अनंत लेकिन आवर्ती (Recurring) होता है।
अपरिमेय संख्याएँ
परिभाषा
जो संख्याएँ p/q के रूप में व्यक्त नहीं की जा सकतीं, उन्हें अपरिमेय संख्याएँ कहते हैं।
इनका दशमलव प्रसार अनंत तथा अनावर्ती होता है।
उदाहरण:
- √2
- √3
- √5
- π
वास्तविक संख्याएँ
परिभाषा
परिमेय तथा अपरिमेय संख्याओं का समूह वास्तविक संख्याएँ कहलाता है।
संख्या रेखा का प्रत्येक बिंदु एक वास्तविक संख्या को दर्शाता है।
संख्या रेखा पर वास्तविक संख्याओं का निरूपण
परिमेय तथा अपरिमेय दोनों प्रकार की संख्याओं को संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है। √2 जैसी अपरिमेय संख्याओं को ज्यामितीय विधि से निरूपित किया जाता है।
घातांकों के नियम
- aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- (ab)ᵐ = aᵐ × bᵐ
- (a/b)ᵐ = aᵐ/bᵐ
- a⁰ = 1
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ
ये नियम घातों से संबंधित प्रश्नों को सरल बनाते हैं।
मुख्य बिंदु
- प्राकृतिक संख्याएँ 1 से प्रारम्भ होती हैं।
- पूर्ण संख्याएँ 0 से प्रारम्भ होती हैं।
- पूर्णांकों में धनात्मक, ऋणात्मक तथा शून्य शामिल हैं।
- परिमेय संख्याएँ p/q के रूप में लिखी जा सकती हैं।
- अपरिमेय संख्याएँ p/q के रूप में नहीं लिखी जा सकतीं।
- परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार सांत या आवर्ती होता है।
- अपरिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार अनंत एवं अनावर्ती होता है।
अध्याय सारांश
इस अध्याय में हमने प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्ण संख्याएँ, पूर्णांक, परिमेय, अपरिमेय तथा वास्तविक संख्याओं का अध्ययन किया। साथ ही दशमलव प्रसार, संख्या रेखा पर वास्तविक संख्याओं का निरूपण तथा घातांकों के नियमों को समझा। ये अवधारणाएँ आगे के सभी गणितीय अध्यायों की आधारशिला हैं।