Chapter 7:
रैखिक असमिकाएँ
Linear Inequalities
इस अध्याय में आप एक तथा दो चरों वाली रैखिक असमिकाओं का हल तथा उनका आलेखीय निरूपण सीखेंगे। इनका उपयोग अनेक व्यावहारिक परिस्थितियों में किया जाता है।
In this chapter, you will learn to solve linear inequalities in one and two variables and represent their solutions graphically. These concepts have many real-life applications.
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Linear Inequalities: Part 1
एक और दो चर वाले रैखिक असमिकाओं की मूल अवधारणा का परिचय और उन्हें संख्या रेखा (number line) पर प्रदर्शित करने का तरीका।
Introduces the basic concept of linear inequalities in one and two variables, explaining how to represent them on a number line.
Linear Inequalities: Part 2
रैखिक असमिकाओं को हल करने की बीजगणितीय विधियाँ और $x$ के लिए हल करते समय असमिकाओं में बदलाव के नियमों की व्याख्या।
Covers the algebraic methods to solve linear inequalities and the rules for manipulating inequalities while solving for $x$.
Linear Inequalities: Part 3
दो चरों वाली रैखिक असमिकाओं को कार्तीय तल (graph) पर आलेखित करके हल करने की विधि।
Explains the method of solving linear inequalities in two variables by plotting them on a Cartesian plane (graph).
Linear Inequalities: Part 4
एक साथ कई रैखिक असमिकाओं के निकाय (system) के लिए उभयनिष्ठ हल क्षेत्र (common solution region) ज्ञात करने की प्रक्रिया।
Focuses on finding the common solution region for a system of multiple linear inequalities simultaneously.
NOTES
Linear Inequalities
Introduction
A Linear Inequality is an algebraic inequality in which the highest power of the variable is 1. Unlike linear equations, inequalities compare two expressions using inequality symbols. They are used to represent conditions involving quantities that may have a range of values and have applications in economics, engineering, business, and optimization.
Linear Inequalities
What is a Linear Inequality?
A linear inequality is an inequality of the form:
- ax + b > 0
- ax + b < 0
- ax + b ≥ 0
- ax + b ≤ 0
where:
- a ≠ 0
- a and b are real numbers.
The solution consists of all values of the variable that satisfy the inequality.
Symbols of Inequalities
Types of Inequality Symbols
The commonly used inequality symbols are:
- > : Greater than
- < : Less than
- ≥ : Greater than or equal to
- ≤ : Less than or equal to
These symbols compare two mathematical expressions.
Properties of Linear Inequalities
Basic Rules
The following rules are used while solving inequalities:
- Adding or subtracting the same number on both sides does not change the inequality.
- Multiplying or dividing both sides by a positive number does not change the inequality sign.
- Multiplying or dividing both sides by a negative number reverses the inequality sign.
These properties help simplify and solve inequalities correctly.
Solution of Linear Inequalities
Method of Solving
To solve a linear inequality:
- Simplify both sides of the inequality.
- Bring all variable terms to one side.
- Bring constant terms to the other side.
- Divide by the coefficient of the variable.
- Reverse the inequality sign if dividing by a negative number.
The final answer gives the solution set.
Graphical Representation
Number Line
The solution of a linear inequality can be represented on a number line.
- Open Circle (○): The endpoint is not included (> or <).
- Closed Circle (●): The endpoint is included (≥ or ≤).
- The arrow shows all values satisfying the inequality.
Linear Inequalities in Two Variables
Graphical Solution
A linear inequality in two variables has the general form:
- ax + by > c
- ax + by < c
- ax + by ≥ c
- ax + by ≤ c
Its solution is represented by a region on the Cartesian Plane.
The boundary line divides the plane into two regions, and the region satisfying the inequality is called the solution region.
Applications of Linear Inequalities
Importance
Linear inequalities are used in:
- Business and economics.
- Resource allocation.
- Engineering.
- Production planning.
- Optimization problems.
- Decision-making.
They help determine possible values under given conditions.
Key Points
- A linear inequality has the variable raised to the first power.
- Four inequality symbols are >, <, ≥, and ≤.
- Multiplying or dividing by a negative number reverses the inequality sign.
- Solutions are represented on a number line or Cartesian Plane.
- Linear inequalities in two variables produce a solution region.
- They are widely used in mathematics and real-life situations.
Chapter Summary
This chapter explains linear inequalities, their properties, and methods of solving them. Students learn to represent solutions on a number line and on the Cartesian Plane. The chapter also covers inequalities in one and two variables and their applications in optimization, economics, and decision-making. Understanding linear inequalities is essential for solving practical mathematical problems.
रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequalities)
परिचय
रैखिक असमिका वह बीजीय असमिका है जिसमें चर (Variable) की उच्चतम घात 1 होती है। रैखिक समीकरणों की तरह इसमें समानता (=) के स्थान पर असमिका चिह्न का प्रयोग किया जाता है। रैखिक असमिकाओं का उपयोग गणित, अर्थशास्त्र, इंजीनियरिंग, व्यापार तथा अनुकूलन (Optimization) में किया जाता है।
रैखिक असमिका
रैखिक असमिका क्या है?
रैखिक असमिका का सामान्य रूप है—
- ax + b > 0
- ax + b < 0
- ax + b ≥ 0
- ax + b ≤ 0
जहाँ—
- a ≠ 0
- a तथा b वास्तविक संख्याएँ हैं।
रैखिक असमिका का हल उन सभी मानों का समूह होता है जो असमिका को संतुष्ट करते हैं।
असमिका के चिह्न
मुख्य प्रतीक
रैखिक असमिकाओं में निम्नलिखित चिह्नों का प्रयोग किया जाता है—
- > : से बड़ा
- < : से छोटा
- ≥ : से बड़ा या बराबर
- ≤ : से छोटा या बराबर
इनका उपयोग दो राशियों की तुलना करने के लिए किया जाता है।
रैखिक असमिकाओं के गुण
Basic Rules
असमिकाएँ हल करते समय निम्न नियमों का पालन किया जाता है—
- दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ने या घटाने से असमिका नहीं बदलती।
- दोनों पक्षों को किसी धनात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर असमिका का चिह्न नहीं बदलता।
- दोनों पक्षों को किसी ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग देने पर असमिका का चिह्न उलट जाता है।
रैखिक असमिका का हल
हल करने की विधि
रैखिक असमिका को हल करने के लिए—
- दोनों पक्षों को सरल करें।
- चर वाले पदों को एक ओर लाएँ।
- नियत पदों को दूसरी ओर लाएँ।
- चर के गुणांक से भाग दें।
- यदि ऋणात्मक संख्या से भाग दें, तो असमिका का चिह्न बदल दें।
अंतिम प्राप्त मान असमिका का हल होता है।
चित्रात्मक निरूपण
संख्या रेखा पर हल
रैखिक असमिका के हल को संख्या रेखा (Number Line) पर दर्शाया जाता है।
- खुला वृत्त (○): अंतिम बिंदु शामिल नहीं होता। (> या <)
- भरा हुआ वृत्त (●): अंतिम बिंदु शामिल होता है। (≥ या ≤)
- तीर (Arrow) उन सभी मानों को दर्शाता है जो हल का भाग हैं।
दो चरों वाली रैखिक असमिकाएँ
Graphical Representation
दो चरों वाली रैखिक असमिका का सामान्य रूप है—
- ax + by > c
- ax + by < c
- ax + by ≥ c
- ax + by ≤ c
इनका हल कार्तीय तल (Cartesian Plane) पर एक क्षेत्र (Region) के रूप में प्राप्त होता है।
सीमा रेखा (Boundary Line) तल को दो भागों में विभाजित करती है, जिनमें से एक भाग असमिका का हल होता है।
रैखिक असमिकाओं के अनुप्रयोग
महत्व
रैखिक असमिकाओं का उपयोग—
- व्यापार एवं अर्थशास्त्र
- संसाधनों के वितरण
- इंजीनियरिंग
- उत्पादन योजना
- अनुकूलन (Optimization)
- निर्णय लेने
में किया जाता है।
मुख्य बिंदु
- रैखिक असमिका में चर की उच्चतम घात 1 होती है।
- मुख्य असमिका चिह्न हैं— >, <, ≥, ≤।
- ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है।
- एक चर वाली असमिकाओं के हल संख्या रेखा पर दर्शाए जाते हैं।
- दो चरों वाली असमिकाओं का हल कार्तीय तल पर एक क्षेत्र होता है।
- रैखिक असमिकाओं का उपयोग अनेक व्यावहारिक समस्याओं में किया जाता है।
अध्याय सारांश
इस अध्याय में रैखिक असमिकाओं की अवधारणा, उनके प्रकार, गुण तथा हल करने की विधि का अध्ययन किया गया। एक चर वाली असमिकाओं को संख्या रेखा पर तथा दो चरों वाली असमिकाओं को कार्तीय तल पर प्रदर्शित किया जाता है। रैखिक असमिकाएँ गणित के साथ-साथ व्यापार, अर्थशास्त्र, इंजीनियरिंग और अनुकूलन से संबंधित समस्याओं को हल करने में अत्यंत उपयोगी हैं।