Chapter 1:
त्रिकोणमितीय फलन
Trigonometric Functions
इस अध्याय में आप कोणों, त्रिकोणमितीय अनुपातों, सर्वसमिकाओं, ग्राफों तथा उनके व्यावहारिक अनुप्रयोगों का अध्ययन करेंगे। यह अध्याय उच्च गणित तथा विज्ञान की अनेक अवधारणाओं को समझने की मजबूत नींव प्रदान करता है.
n this chapter, you will learn about angles, trigonometric ratios, identities, graphs, and their practical uses in mathematics, physics, and engineering. A strong understanding of these concepts forms the foundation for advanced mathematical studies.
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Trigonometric Functions: Part 1
कोणों की मूल अवधारणा, डिग्री-रेडियन मापन और उनके बीच के संबंध का परिचय दिया गया है।
Introduces fundamental concepts of angles, degree/radian measurement, and the conversion between them.
Trigonometric Functions: Part 2
इकाई वृत्त (unit circle) द्वारा त्रिकोणमितीय फलनों और मूलभूत सर्वसमिकाओं (identities) को समझाया गया है।
Explains the unit circle approach to trigonometry and basic trigonometric identities.
Trigonometric Functions: Part 3
चारों चतुर्थांशों (quadrants) में त्रिकोणमितीय फलनों के चिह्न और संदर्भ कोणों (reference angles) पर चर्चा की गई है।
Covers the sign of functions in different quadrants and the use of reference angles.
Trigonometric Functions: Part 4
सभी छह त्रिकोणमितीय फलनों के प्रांत (domain), परिसर (range) और ग्राफ का विस्तृत विवरण दिया गया है।
Details the domain, range, and graphs of all six trigonometric functions.
Trigonometric Functions: Part 5
संयुक्त कोणों (compound angles), गुणित कोणों और त्रिकोणमितीय सूत्रों के अनुप्रयोग को समझाया गया है।
Focuses on compound angle formulas, multiple/sub-multiple angles, and product-sum identities.
Trigonometric Functions: Part 6
त्रिकोणमितीय समीकरणों के मुख्य (principal) और व्यापक (general) हलों को निकालने की विधि और प्रमेय सिखाए गए हैं।
Teaches how to find principal and general solutions for trigonometric equations along with related theorems.
NOTES
Trigonometric Functions
Introduction
Trigonometry is a branch of mathematics that studies the relationship between the angles and sides of triangles. In Class 11, trigonometric functions are extended from acute angles to angles of any measure using the unit circle. These functions are widely used in mathematics, physics, engineering, navigation, and astronomy.
Angle Measurement
Degree and Radian Measure
An angle can be measured in:
- Degree (°)
- Radian (rad)
Important conversions:
- 180° = π radians
- 360° = 2π radians
- 1 radian = 180°/π
- 1° = π/180 radians
Radians are commonly used in higher mathematics.
Trigonometric Functions
Six Trigonometric Functions
The six trigonometric functions are:
- Sine (sin θ)
- Cosine (cos θ)
- Tangent (tan θ)
- Cosecant (cosec θ)
- Secant (sec θ)
- Cotangent (cot θ)
For a right-angled triangle:
- sin θ = Perpendicular / Hypotenuse
- cos θ = Base / Hypotenuse
- tan θ = Perpendicular / Base
- cosec θ = 1 / sin θ
- sec θ = 1 / cos θ
- cot θ = 1 / tan θ
Trigonometric Functions of Any Angle
Using the Unit Circle
For angles greater than 90° or negative angles, trigonometric functions are defined using the unit circle.
Coordinates of a point on the unit circle:
- x = cos θ
- y = sin θ
This definition allows trigonometric functions for all real numbers.
Signs of Trigonometric Functions
Quadrants
The signs of trigonometric functions depend on the quadrant.
- First Quadrant: All functions are positive.
- Second Quadrant: Only sin and cosec are positive.
- Third Quadrant: Only tan and cot are positive.
- Fourth Quadrant: Only cos and sec are positive.
The mnemonic “All Students Take Coffee” (ASTC) helps remember the signs.
Important Identities
Basic Trigonometric Identities
Some important identities are:
- sin²θ + cos²θ = 1
- sec²θ = 1 + tan²θ
- cosec²θ = 1 + cot²θ
- tan θ = sin θ / cos θ
- cot θ = cos θ / sin θ
These identities are used to simplify expressions and solve equations.
Trigonometric Functions of Special Angles
Standard Values
Important angles include:
- 0°
- 30°
- 45°
- 60°
- 90°
Students should memorize the values of sin, cos, tan, cosec, sec, and cot for these angles.
Trigonometric Graphs
Graphs of Functions
The graphs of sin x, cos x, and tan x show how these functions change with the angle.
- sin x and cos x are periodic with period 2π.
- tan x is periodic with period π.
These graphs help understand the behaviour of trigonometric functions.
Applications of Trigonometry
Uses in Daily Life
Trigonometry is used in:
- Measuring heights and distances.
- Engineering and construction.
- Navigation.
- Astronomy.
- Surveying.
- Computer graphics and physics.
Key Points
- Angles are measured in degrees and radians.
- There are six trigonometric functions.
- The unit circle defines trigonometric functions for all angles.
- The sign of a function depends on the quadrant.
- Trigonometric identities help simplify expressions.
- Standard angle values are important for problem-solving.
- Trigonometric functions are periodic and have many practical applications.
Chapter Summary
Trigonometric functions describe the relationship between angles and sides of triangles and are extended to all angles using the unit circle. The chapter covers angle measurement, six trigonometric functions, signs in different quadrants, important identities, standard angle values, graphs, and practical applications. A strong understanding of these concepts forms the foundation for advanced mathematics, calculus, and engineering.
त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Functions)
परिचय
त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा है जिसमें त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के बीच संबंध का अध्ययन किया जाता है। कक्षा 11 में त्रिकोणमितीय फलनों को केवल समकोण त्रिभुज तक सीमित न रखकर सभी कोणों के लिए एकक वृत्त (Unit Circle) की सहायता से परिभाषित किया जाता है। इनका उपयोग गणित, भौतिकी, इंजीनियरिंग, खगोल विज्ञान तथा सर्वेक्षण में व्यापक रूप से होता है।
कोणों का मापन
डिग्री एवं रेडियन माप
कोणों को दो प्रकार से मापा जाता है—
- डिग्री (°)
- रेडियन (rad)
महत्वपूर्ण परिवर्तन:
- 180° = π रेडियन
- 360° = 2π रेडियन
- 1 रेडियन = 180°/π
- 1° = π/180 रेडियन
उच्च गणित में सामान्यतः रेडियन माप का प्रयोग किया जाता है।
त्रिकोणमितीय फलन
छः त्रिकोणमितीय फलन
त्रिकोणमिति के छह मुख्य फलन हैं—
- sin θ (साइन)
- cos θ (कोसाइन)
- tan θ (टैन्जेंट)
- cosec θ (कोसेकेंट)
- sec θ (सेकेंट)
- cot θ (कोटैन्जेंट)
समकोण त्रिभुज में—
- sin θ = लम्ब / कर्ण
- cos θ = आधार / कर्ण
- tan θ = लम्ब / आधार
- cosec θ = 1 / sin θ
- sec θ = 1 / cos θ
- cot θ = 1 / tan θ
किसी भी कोण के लिए त्रिकोणमितीय फलन
एकक वृत्त (Unit Circle)
90° से अधिक या ऋणात्मक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय फलनों को एकक वृत्त की सहायता से परिभाषित किया जाता है।
यदि एकक वृत्त पर किसी बिंदु के निर्देशांक (x, y) हों, तो—
- x = cos θ
- y = sin θ
इस प्रकार त्रिकोणमितीय फलनों को सभी वास्तविक कोणों के लिए परिभाषित किया जा सकता है।
त्रिकोणमितीय फलनों के चिन्ह
चारों चतुर्थांश
त्रिकोणमितीय फलनों का चिन्ह कोण के चतुर्थांश पर निर्भर करता है।
- प्रथम चतुर्थांश: सभी फलन धनात्मक होते हैं।
- द्वितीय चतुर्थांश: केवल sin और cosec धनात्मक होते हैं।
- तृतीय चतुर्थांश: केवल tan और cot धनात्मक होते हैं।
- चतुर्थ चतुर्थांश: केवल cos और sec धनात्मक होते हैं।
इसे याद रखने के लिए ASTC (All Students Take Coffee) नियम का उपयोग किया जाता है।
महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ
Basic Identities
मुख्य सर्वसमिकाएँ—
- sin²θ + cos²θ = 1
- sec²θ = 1 + tan²θ
- cosec²θ = 1 + cot²θ
- tan θ = sin θ / cos θ
- cot θ = cos θ / sin θ
इनका उपयोग प्रश्नों को सरल बनाने और समीकरण हल करने में किया जाता है।
विशेष कोणों के त्रिकोणमितीय मान
Standard Values
निम्नलिखित कोणों के मान अत्यंत महत्वपूर्ण हैं—
- 0°
- 30°
- 45°
- 60°
- 90°
इन कोणों के sin, cos, tan, cosec, sec तथा cot के मान याद रखना आवश्यक है।
त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ
Graphs
sin x, cos x तथा tan x के ग्राफ उनके व्यवहार को दर्शाते हैं।
- sin x और cos x का आवर्तकाल (Period) 2π होता है।
- tan x का आवर्तकाल π होता है।
ग्राफ की सहायता से फलनों के गुणों को आसानी से समझा जा सकता है।
त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग
व्यावहारिक उपयोग
त्रिकोणमिति का उपयोग—
- ऊँचाई एवं दूरी ज्ञात करने में।
- इंजीनियरिंग एवं निर्माण कार्यों में।
- खगोल विज्ञान में।
- नौवहन (Navigation) में।
- सर्वेक्षण (Surveying) में।
- भौतिकी एवं कंप्यूटर ग्राफिक्स में।
मुख्य बिंदु
- कोणों को डिग्री एवं रेडियन में मापा जाता है।
- त्रिकोणमिति में छह प्रमुख फलन होते हैं।
- एकक वृत्त द्वारा सभी कोणों के लिए फलन परिभाषित किए जाते हैं।
- फलनों का चिन्ह चतुर्थांश पर निर्भर करता है।
- त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ प्रश्न हल करने में महत्वपूर्ण हैं।
- विशेष कोणों के मान याद रखना आवश्यक है।
- त्रिकोणमिति का उपयोग विज्ञान, इंजीनियरिंग और दैनिक जीवन में व्यापक रूप से होता है।
अध्याय सारांश
इस अध्याय में त्रिकोणमितीय फलनों, कोणों के मापन, एकक वृत्त, छह त्रिकोणमितीय फलनों, चतुर्थांशों में उनके चिन्ह, महत्वपूर्ण सर्वसमिकाओं, विशेष कोणों के मान तथा ग्राफों का अध्ययन किया गया। त्रिकोणमिति गणित की एक महत्वपूर्ण शाखा है जिसका उपयोग विज्ञान, इंजीनियरिंग, वास्तुकला, सर्वेक्षण और अनेक व्यावहारिक क्षेत्रों में किया जाता है।