Chapter 13
समतल में गति
Motion in a Plane
इसमें सदिश, प्रक्षेप्य गति तथा एकसमान वृत्तीय गति जैसी महत्वपूर्ण अवधारणाओं को समझाया गया है। ये अवधारणाएँ विभिन्न दिशाओं में एक साथ होने वाली गति को समझने के लिए महत्वपूर्ण हैं।
This chapter introduces vectors, projectile motion, and uniform circular motion, helping you understand how objects move along different directions simultaneously. These concepts are essential for studying motion in the real world.
VIDEOS
Motion in a plane: Part 1
अदिश और सदिश राशियों के बीच मूलभूत अंतर का परिचय, स्थिति सदिश (position vectors), विस्थापन सदिश, और सदिशों की समानता की व्याख्या।
Introduces the fundamental difference between scalar and vector quantities, position vectors, displacement vectors, and the equality of vectors.
Motion in a plane: Part 2
सदिश योग के त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज नियमों की व्याख्या, और एक सदिश को उसके आयताकार घटकों (rectangular components) में वियोजित करने की तकनीक।
Explains the triangle and parallelogram laws of vector addition, and the technique of resolving a vector into its rectangular components.
Motion in a plane: Part 3
जब त्वरण नियत हो, तब द्विविमीय गति के गतिज समीकरणों को कवर करना, जिसमें वेग और स्थिति सदिशों पर विशेष ध्यान दिया गया है।
Covers the kinematic equations of motion in two dimensions when acceleration is constant, focusing on velocity and position vectors.
Motion in a plane: Part 4
किसी कोण पर प्रक्षेपित किए गए प्रक्षेप्य (projectile) के पथ, उड्डयन काल (time of flight), क्षैतिज परास और अधिकतम ऊंचाई की चर्चा।
Discusses the trajectory, time of flight, horizontal range, and maximum height attained by a projectile fired at an angle.
Motion in a plane: Part 5
वृत्तीय पथ में एकसमान गति से संबंधित कोणीय वेग (angular velocity), आवर्तकाल, और अभिकेंद्र त्वरण (centripetal acceleration) की अवधारणाओं की व्याख्या।
Explains the concepts of angular velocity, period, and centripetal acceleration associated with uniform motion in a circular path.
Motion in a plane: Part 6
द्विविमीय समतल में आपेक्षिक वेग (relative velocity) की अवधारणा और अभ्यास प्रश्नों को हल करने के साथ एक समापन सत्र।
Deals with the concept of relative velocity in a two-dimensional plane and concludes with a session solving practice problems.
NOTES
Motion in a Plane
Introduction
Motion in a plane refers to the motion of an object in two dimensions, such as the motion of a projectile or a car moving on a curved road. To study two-dimensional motion, we use vectors, position and displacement, velocity and acceleration, projectile motion, and uniform circular motion.
Scalars and Vectors
Scalar Quantity
A scalar quantity has only magnitude and no direction.
Examples:
- Distance
- Speed
- Mass
- Time
- Temperature
Vector Quantity
A vector quantity has both magnitude and direction.
Examples:
- Displacement
- Velocity
- Acceleration
- Force
- Momentum
A vector is represented by an arrow. The length represents its magnitude and the arrowhead represents its direction.
Representation of a Vector
Unit Vector
A unit vector is a vector having magnitude one. It is used to represent the direction of a vector.
Along the x, y and z axes, unit vectors are represented by:
î, ĵ, k̂
A vector A can be written as:
A = Aₓî + Aᵧĵ + Azk̂
Addition of Vectors
Triangle Law
According to the triangle law of vector addition, if two vectors are represented by two sides of a triangle taken in order, their resultant is represented by the third side taken in the opposite direction.
Parallelogram Law
If two vectors acting at a point are represented by the adjacent sides of a parallelogram, their resultant is represented by the diagonal of the parallelogram.
For two vectors A and B making an angle θ:
R = √(A² + B² + 2AB cosθ)
Resolution of a Vector
Definition
The process of splitting a vector into its components along two mutually perpendicular directions is called resolution of a vector.
For a vector A making an angle θ with the x-axis:
Aₓ = A cosθ
Aᵧ = A sinθ
Therefore:
A = Aₓî + Aᵧĵ
The magnitude is:
A = √(Aₓ² + Aᵧ²)
Position and Displacement
Position Vector
The position of a particle with respect to the origin is represented by its position vector.
r = xî + yĵ
Displacement
Displacement is the change in the position of a particle.
Δr = r₂ − r₁
Displacement is a vector quantity.
Velocity and Acceleration
Velocity
The rate of change of displacement with time is called velocity.
v = dr/dt
Average velocity:
vavg = Δr/Δt
Acceleration
The rate of change of velocity with time is called acceleration.
a = dv/dt
Average acceleration:
aavg = Δv/Δt
In two-dimensional motion:
v = vxî + vyĵ
a = axî + ayĵ
Projectile Motion
Definition
The motion of an object projected into the air under the influence of gravity alone is called projectile motion.
Examples:
- A ball thrown at an angle
- A stone thrown from a height
- A football kicked into the air
Projectile motion is a combination of:
- Horizontal motion with constant velocity
- Vertical motion with constant acceleration due to gravity
Projectile Motion Equations
If a projectile is launched with initial velocity u at an angle θ:
Horizontal component:
ux = u cosθ
Vertical component:
uy = u sinθ
Time of Flight
The total time for which the projectile remains in the air is:
T = 2u sinθ/g
Maximum Height
The maximum vertical height reached is:
H = u²sin²θ/2g
Horizontal Range
The horizontal distance travelled is:
R = u²sin2θ/g
The range is maximum when:
θ = 45°
Uniform Circular Motion
Definition
When an object moves along a circular path with constant speed, its motion is called uniform circular motion.
Although speed remains constant, velocity changes continuously because its direction changes.
Therefore, the object has acceleration.
Centripetal Acceleration
The acceleration directed towards the centre of the circular path is called centripetal acceleration.
ac = v²/r
It can also be written as:
ac = ω²r
where:
- v = Linear speed
- r = Radius
- ω = Angular velocity
Angular Velocity
Definition
The rate of change of angular displacement with time is called angular velocity.
ω = dθ/dt
Relation between linear and angular velocity:
v = rω
The direction of angular velocity is perpendicular to the plane of rotation.
Centripetal Force
Definition
The force required to keep an object moving in a circular path is called centripetal force.
Fc = mv²/r
It is always directed towards the centre of the circular path.
Examples:
- Tension in a string when a stone is rotated
- Gravitational force keeping planets in orbit
- Friction providing the centripetal force for a vehicle on a curved road
Key Points
- Motion in a plane is two-dimensional motion.
- Scalars have magnitude only, while vectors have magnitude and direction.
- Vectors can be added using the triangle or parallelogram law.
- A vector can be resolved into perpendicular components.
- Projectile motion has independent horizontal and vertical components.
- The maximum range of a projectile occurs at 45°.
- In uniform circular motion, speed is constant but velocity changes.
- Centripetal acceleration is directed towards the centre.
- ac = v²/r
- v = rω
- Centripetal force is Fc = mv²/r.
Chapter Summary
This chapter introduces the concepts required to study two-dimensional motion. It explains scalars and vectors, vector addition and resolution, position and displacement vectors, velocity and acceleration, projectile motion, and uniform circular motion. The study of motion in a plane is essential for understanding the motion of projectiles, vehicles, satellites, planets, and other objects moving in two dimensions.
समतल में गति (Motion in a Plane)
परिचय
समतल में गति से तात्पर्य किसी वस्तु की दो विमाओं में होने वाली गति से है, जैसे प्रक्षेप्य की गति या घुमावदार सड़क पर चलती कार की गति। द्विविमीय गति को समझने के लिए सदिश, स्थिति और विस्थापन, वेग और त्वरण, प्रक्षेप्य गति तथा एकसमान वृत्तीय गति का अध्ययन किया जाता है।
अदिश और सदिश
अदिश राशि
अदिश राशि में केवल परिमाण होता है, दिशा नहीं होती।
उदाहरण—
- दूरी
- चाल
- द्रव्यमान
- समय
- तापमान
सदिश राशि
सदिश राशि में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
उदाहरण—
- विस्थापन
- वेग
- त्वरण
- बल
- संवेग
सदिश को एक तीर द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। तीर की लंबाई परिमाण और तीर का सिरा दिशा दर्शाता है।
सदिश का निरूपण
एकांक सदिश
एकांक सदिश ऐसा सदिश होता है जिसका परिमाण एक होता है। इसका उपयोग किसी सदिश की दिशा बताने के लिए किया जाता है।
x, y और z अक्षों के एकांक सदिश क्रमशः—
î, ĵ, k̂
एक सदिश A को इस प्रकार लिखा जा सकता है—
A = Aₓî + Aᵧĵ + Azk̂
सदिशों का योग
त्रिभुज नियम
सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार, यदि दो सदिशों को क्रम से त्रिभुज की दो भुजाओं द्वारा प्रदर्शित किया जाए, तो उनका परिणामी सदिश तीसरी भुजा द्वारा विपरीत दिशा में प्रदर्शित होता है।
समांतर चतुर्भुज नियम
यदि एक बिंदु पर कार्य करने वाले दो सदिशों को समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाओं द्वारा प्रदर्शित किया जाए, तो उनका परिणामी सदिश समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा प्रदर्शित होता है।
यदि दो सदिश A और B के बीच कोण θ हो, तो—
R = √(A² + B² + 2AB cosθ)
सदिश का वियोजन
परिभाषा
किसी सदिश को दो परस्पर लंबवत दिशाओं में उसके घटकों में विभाजित करने की प्रक्रिया को सदिश का वियोजन कहते हैं।
यदि सदिश A, x-अक्ष से θ कोण बनाता है, तो—
Aₓ = A cosθ
Aᵧ = A sinθ
अतः—
A = Aₓî + Aᵧĵ
परिमाण—
A = √(Aₓ² + Aᵧ²)
स्थिति और विस्थापन
स्थिति सदिश
किसी कण की मूल बिंदु के सापेक्ष स्थिति को स्थिति सदिश द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।
r = xî + yĵ
विस्थापन
किसी कण की स्थिति में परिवर्तन को विस्थापन कहते हैं।
Δr = r₂ − r₁
विस्थापन एक सदिश राशि है।
वेग और त्वरण
वेग
समय के सापेक्ष विस्थापन के परिवर्तन की दर को वेग कहते हैं।
v = dr/dt
औसत वेग—
vavg = Δr/Δt
त्वरण
समय के सापेक्ष वेग के परिवर्तन की दर को त्वरण कहते हैं।
a = dv/dt
औसत त्वरण—
aavg = Δv/Δt
द्विविमीय गति में—
v = vxî + vyĵ
a = axî + ayĵ
प्रक्षेप्य गति
परिभाषा
जब किसी वस्तु को वायु में प्रक्षेपित किया जाता है और उस पर केवल गुरुत्वाकर्षण बल कार्य करता है, तो उसकी गति को प्रक्षेप्य गति कहते हैं।
उदाहरण—
- कोण पर फेंकी गई गेंद
- ऊँचाई से फेंका गया पत्थर
- हवा में किक की गई फुटबॉल
प्रक्षेप्य गति दो गतियों का संयोजन है—
- नियत वेग वाली क्षैतिज गति
- गुरुत्वीय त्वरण वाली ऊर्ध्वाधर गति
प्रक्षेप्य गति के समीकरण
यदि किसी प्रक्षेप्य को प्रारंभिक वेग u से θ कोण पर प्रक्षेपित किया जाए—
क्षैतिज घटक—
ux = u cosθ
ऊर्ध्वाधर घटक—
uy = u sinθ
उड़ान का समय
प्रक्षेप्य के वायु में रहने का कुल समय—
T = 2u sinθ/g
अधिकतम ऊँचाई
प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊर्ध्वाधर ऊँचाई—
H = u²sin²θ/2g
क्षैतिज परास
प्रक्षेप्य द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी—
R = u²sin2θ/g
परास अधिकतम होता है जब—
θ = 45°
एकसमान वृत्तीय गति
परिभाषा
जब कोई वस्तु नियत चाल से वृत्तीय पथ पर गति करती है, तो उसकी गति को एकसमान वृत्तीय गति कहते हैं।
यद्यपि चाल नियत रहती है, लेकिन दिशा लगातार बदलती रहती है। इसलिए वेग भी बदलता रहता है और वस्तु में त्वरण होता है।
अभिकेंद्रीय त्वरण
वृत्तीय पथ के केंद्र की ओर निर्देशित त्वरण को अभिकेंद्रीय त्वरण कहते हैं।
ac = v²/r
इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है—
ac = ω²r
जहाँ—
- v = रैखिक चाल
- r = त्रिज्या
- ω = कोणीय वेग
कोणीय वेग
परिभाषा
समय के सापेक्ष कोणीय विस्थापन के परिवर्तन की दर को कोणीय वेग कहते हैं।
ω = dθ/dt
रैखिक और कोणीय वेग के बीच संबंध—
v = rω
कोणीय वेग की दिशा घूर्णन के तल के लंबवत होती है।
अभिकेंद्रीय बल
परिभाषा
किसी वस्तु को वृत्तीय पथ पर गति करते रहने के लिए आवश्यक बल को अभिकेंद्रीय बल कहते हैं।
Fc = mv²/r
यह हमेशा वृत्तीय पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
उदाहरण—
- घूमते हुए पत्थर पर डोरी का तनाव
- ग्रहों को कक्षा में बनाए रखने वाला गुरुत्वाकर्षण बल
- घुमावदार सड़क पर वाहन के लिए अभिकेंद्रीय बल प्रदान करने वाला घर्षण
मुख्य बिंदु
- समतल में गति द्विविमीय गति होती है।
- अदिश राशियों में केवल परिमाण होता है, जबकि सदिश राशियों में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
- सदिशों को त्रिभुज या समांतर चतुर्भुज नियम से जोड़ा जा सकता है।
- किसी सदिश को परस्पर लंबवत घटकों में विभाजित किया जा सकता है।
- प्रक्षेप्य गति में क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटक स्वतंत्र रूप से कार्य करते हैं।
- प्रक्षेप्य का अधिकतम परास 45° के कोण पर प्राप्त होता है।
- एकसमान वृत्तीय गति में चाल नियत रहती है, लेकिन वेग बदलता रहता है।
- अभिकेंद्रीय त्वरण केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
- ac = v²/r
- v = rω
- अभिकेंद्रीय बल Fc = mv²/r होता है।
अध्याय सारांश
इस अध्याय में द्विविमीय गति को समझने के लिए आवश्यक अवधारणाओं का अध्ययन किया गया है। इसमें अदिश और सदिश राशियाँ, सदिशों का योग और वियोजन, स्थिति और विस्थापन सदिश, वेग और त्वरण, प्रक्षेप्य गति तथा एकसमान वृत्तीय गति शामिल हैं। समतल में गति का अध्ययन प्रक्षेप्य, वाहन, उपग्रह, ग्रहों तथा दो विमाओं में गति करने वाली अन्य वस्तुओं की गति को समझने के लिए महत्वपूर्ण है।