CHAPTER 3
PLAYING WITH NUMBERS
Learn how numbers can be explored through factors, multiples, prime and composite numbers. Understand divisibility, prime factorisation, HCF, co-prime numbers, twin primes, and mathematical patterns through real-life examples, activities, and practice questions.
गुणनखंड, गुणज, अभाज्य एवं संयुक्त संख्याएँ, विभाज्यता, अभाज्य गुणनखंड, महत्तम समापवर्तक (HCF), सह-अभाज्य संख्याएँ तथा गणितीय पैटर्न को सरल उदाहरणों और अभ्यास प्रश्नों के माध्यम से समझें।
VIDEOS
Explore easy-to-understand video lessons covering every topic with clear explanations, practical examples, and step-by-step learning
Part 1: Factors and Multiples
This video introduces factors and multiples using visual examples like marbles. It explains that factors divide numbers completely, while multiples are continuous products of base numbers.
Part 2: Prime and Composite Numbers
This lesson clearly defines prime and composite numbers. It also demonstrates the ancient Sieve of Eratosthenes method to easily identify prime numbers between one and hundred.
Part 3: Even, Odd, and Co-primes
This tutorial explores even and odd numbers through divisibility rules. It also introduces advanced concepts like co-prime numbers, twin primes, and prime triplets with clear examples.
Part 4: HCF and Prime Factorization
This final video teaches prime factorization, common factors, and common multiples. It effectively explains three distinct mathematical methods to calculate the Highest Common Factor of numbers.
Playing with Numbers
Learning Objectives
In this chapter, students will develop a strong understanding of numbers and their properties. They will learn how to identify factors and multiples, distinguish between prime and composite numbers, recognize even and odd numbers, understand co-prime and twin prime numbers, use the Sieve of Eratosthenes to find prime numbers, perform prime factorization, and calculate the Highest Common Factor (HCF). These concepts build a strong foundation for advanced mathematics and improve logical thinking and problem-solving skills.
Introduction to Playing with Numbers
The chapter Playing with Numbers introduces students to the fascinating world of number patterns and relationships. Every number has unique properties that help us solve mathematical problems more efficiently. Understanding factors, multiples, prime numbers, divisibility, and HCF makes calculations easier and prepares students for higher-level mathematics.
These concepts are widely used in everyday life, from arranging objects into equal groups to solving practical problems involving sharing, measurement, and scheduling.
Factors and Multiples
A factor of a number is a number that divides it exactly without leaving any remainder. Every number has at least two factors: 1 and the number itself. For example, the factors of 24 are 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, and 24.
A multiple is obtained by multiplying a number by whole numbers. Multiples continue endlessly. For example, the multiples of 6 are 6, 12, 18, 24, 30, 36, and so on.
Understanding the relationship between factors and multiples helps students solve questions involving divisibility, common factors, and mathematical patterns.
Prime, Composite, Even and Odd Numbers
Numbers can be classified based on their factors.
A prime number has exactly two factors—1 and the number itself. Examples include 2, 3, 5, 7, 11, and 13. The number 2 is the only even prime number.
A composite number has more than two factors. Numbers such as 4, 6, 8, 9, and 12 are composite numbers because they can be divided by numbers other than 1 and themselves.
An even number is completely divisible by 2, whereas an odd number is not divisible by 2. The number 1 is a special number because it is neither prime nor composite.
Co-prime Numbers and Twin Primes
Two numbers are called co-prime numbers if they have only one common factor, which is 1. For example, 8 and 15 are co-prime because they do not share any common factor other than 1.
Twin prime numbers are pairs of prime numbers whose difference is exactly 2. Examples include (3, 5), (5, 7), (11, 13), and (17, 19). Although the numbers are close together, both remain prime.
Sieve of Eratosthenes
The Sieve of Eratosthenes is a simple and systematic method for finding all prime numbers up to a given limit. Students begin by writing numbers in order, usually from 1 to 100. The number 1 is removed because it is neither prime nor composite.
Starting with 2, every multiple of 2 is crossed out except 2 itself. The same process is repeated for 3, 5, 7, and the remaining uncrossed numbers. The numbers left uncrossed at the end are all prime numbers.
This method provides an easy way to identify prime numbers quickly without checking every number individually.
Prime Factorization
Prime factorization means expressing a number as the product of its prime factors. Every composite number can be written uniquely as a multiplication of prime numbers.
For example,
24 = 2 × 2 × 2 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
Prime factorization makes it easier to simplify mathematical calculations and plays an important role in finding the Highest Common Factor (HCF).
Highest Common Factor (HCF)
The Highest Common Factor (HCF) is the greatest number that divides two or more numbers exactly. Finding the HCF is useful in simplifying fractions, arranging objects into equal groups, and solving real-life mathematical problems.
Students can calculate the HCF using three common methods. The factor method involves listing all the factors of each number and selecting the greatest common factor. The prime factorization method finds the common prime factors and multiplies the lowest powers of the common factors. The division method repeatedly divides the larger number by the smaller one until the remainder becomes zero, making it the fastest method for larger numbers.
Practice Questions
- Find the HCF of 24 and 36 using prime factorization.
- Are 18 and 35 co-prime numbers? Give a reason.
- Write the prime factorization of 72.
- List all the prime numbers between 20 and 50.
- Find the HCF of 48 and 60 using the factor method.
Answer Key
संख्याओं के साथ खेलना
सीखने के उद्देश्य
इस अध्याय में विद्यार्थी संख्याओं के विभिन्न गुणों को समझेंगे। वे गुणनखंड और गुणज की पहचान करना, अभाज्य एवं संयुक्त संख्याओं में अंतर समझना, सम और विषम संख्याओं को पहचानना, सह-अभाज्य तथा जुड़वाँ अभाज्य संख्याओं का अध्ययन करना, एराटोस्थनीज़ की छलनी (Sieve of Eratosthenes) का उपयोग करके अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करना, अभाज्य गुणनखंड करना तथा महत्तम समापवर्तक (HCF) निकालना सीखेंगे।
परिचय
संख्याओं के साथ खेलना अध्याय विद्यार्थियों को संख्याओं के रोचक गुणों और उनके आपसी संबंधों से परिचित कराता है। गुणनखंड, गुणज, विभाज्यता, अभाज्य संख्याएँ तथा HCF जैसी अवधारणाएँ गणित की मजबूत नींव तैयार करती हैं और आगे की पढ़ाई में अत्यंत उपयोगी होती हैं।
इनका उपयोग दैनिक जीवन में वस्तुओं को समान समूहों में बाँटने, समय-सारणी बनाने तथा अनेक व्यावहारिक समस्याओं के समाधान में किया जाता है।
गुणनखंड और गुणज
किसी संख्या को बिना शेषफल के पूरी तरह विभाजित करने वाली संख्या उसका गुणनखंड कहलाती है। प्रत्येक संख्या के कम से कम दो गुणनखंड होते हैं—1 और वह संख्या स्वयं।
किसी संख्या को पूर्ण संख्याओं से गुणा करके प्राप्त संख्याएँ उसके गुणज कहलाती हैं। गुणज अनंत होते हैं। उदाहरण के लिए, 6 के गुणज हैं 6, 12, 18, 24, 30 आदि।
गुणनखंड और गुणज की समझ विद्यार्थियों को विभाज्यता तथा अन्य गणितीय अवधारणाओं को आसानी से समझने में सहायता करती है।
अभाज्य, संयुक्त, सम और विषम संख्याएँ
अभाज्य संख्या वह होती है जिसके केवल दो गुणनखंड होते हैं—1 और वह संख्या स्वयं। जैसे 2, 3, 5, 7, 11 आदि। संख्या 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।
संयुक्त संख्या के दो से अधिक गुणनखंड होते हैं, जैसे 4, 6, 8, 9 और 12।
जो संख्या 2 से पूर्णतः विभाजित हो जाती है वह सम संख्या कहलाती है, जबकि जो 2 से विभाजित नहीं होती वह विषम संख्या कहलाती है।
संख्या 1 न तो अभाज्य है और न ही संयुक्त।
सह-अभाज्य और जुड़वाँ अभाज्य संख्याएँ
दो संख्याएँ सह-अभाज्य कहलाती हैं यदि उनका केवल एक ही समान गुणनखंड हो, अर्थात् 1। उदाहरण के लिए, 8 और 15 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं।
दो अभाज्य संख्याएँ जिनके बीच का अंतर 2 हो, उन्हें जुड़वाँ अभाज्य संख्याएँ कहा जाता है। जैसे (3,5), (5,7), (11,13) तथा (17,19)।
एराटोस्थनीज़ की छलनी
एराटोस्थनीज़ की छलनी अभाज्य संख्याएँ खोजने की एक सरल विधि है। इसमें 1 से 100 तक की संख्याएँ लिखी जाती हैं। सबसे पहले 1 को हटा दिया जाता है क्योंकि वह न अभाज्य है और न संयुक्त।
इसके बाद 2 से शुरू करके उसके सभी गुणज काट दिए जाते हैं। यही प्रक्रिया 3, 5, 7 तथा अन्य संख्याओं के साथ दोहराई जाती है। अंत में जो संख्याएँ बचती हैं, वे सभी अभाज्य संख्याएँ होती हैं।
अभाज्य गुणनखंड
किसी संयुक्त संख्या को केवल अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखना अभाज्य गुणनखंड कहलाता है।
उदाहरण के लिए,
24 = 2 × 2 × 2 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
यह विधि HCF निकालने तथा अन्य गणितीय समस्याओं को हल करने में अत्यंत उपयोगी है।
महत्तम समापवर्तक (HCF)
दो या दो से अधिक संख्याओं को पूरी तरह विभाजित करने वाला सबसे बड़ा समान गुणनखंड महत्तम समापवर्तक (HCF) कहलाता है।
HCF ज्ञात करने के लिए गुणनखंड विधि, अभाज्य गुणनखंड विधि तथा भाग विधि का उपयोग किया जाता है। HCF का उपयोग भिन्नों को सरल बनाने, वस्तुओं को समान समूहों में बाँटने तथा अनेक व्यावहारिक समस्याओं के समाधान में किया जाता है।
अभ्यास प्रश्न
- अभाज्य गुणनखंड विधि से 24 और 36 का HCF ज्ञात कीजिए।
- क्या 18 और 35 सह-अभाज्य संख्याएँ हैं? कारण सहित लिखिए।
- 72 का अभाज्य गुणनखंड कीजिए।
- 20 से 50 के बीच की सभी अभाज्य संख्याएँ लिखिए।
- गुणनखंड विधि से 48 और 60 का HCF ज्ञात कीजिए।